高考数学MOOK | 构造函数解决高考导数问题

2021-10-06

高考数学MOOK

2017 VOL.12


曾德迁



导数大题是全国各地的高考试卷中必考的一道压轴题,主要考查利用导数讨论原函数的单调性和单调区间,通过讨论将其转化为最值问题,着重考查分类讨论思想,对分类讨论的原因和讨论流程的要求较高.解题的关键在于讨论之后如何将问题精准地转化为最值问题,以得到我们所需的式子或结果.导数问题的难点在于分类讨论和最值的转化,通常在进行分类讨论或者转化为函数的最值问题之前,函数形式或者可转化为函数形式的式子比较复杂,因此我们需要进行相应的构造函数工作,把函数形式变得更加简单,其中最重要的就是函数形式的转换,本文把利用构造函数解决导数问题这类题型进行了总结,如下。

直接作差构造函数

 方法总结:

在导数问题中,这类题型是最一般的情况. 如果要证明涉及一个变量、两个函数的不等式成立,或者不等式可转化为利用一个函数来证明,可通过移项构造一个新的函数来解决,关键是对于如练习中所描述的某函数图象恒在另一个函数图象的上方或者下方,或者函数图象与某直线无交点(即函数图象恒在某直线的上方或下方)等进行正确的条件转化.


分离函数构造函数

当要证明的不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或商的形式时,我们需要把这两种形式的函数分离之后再来研究,这样在解决具体问题时,对于超越函数的性质研究和求取最值就会变得简单. 

 方法总结:

我们在研究这样的不等式时,往往需要对函数的形式进行处理,先把不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的这两种形式分离,然后再研究函数的性质. 对于高中而言,常见的超越函数和有理函数之间的叠加主要有以下几种:

当遇到这类函数时,应优先使用分离策略,即先把不等式两边含有有理函数和超越函数的乘积或者商的形式分离,简化函数的形式,再进行研究.

从导函数特征入手构造原函数

 方法总结:

我们总结了以上的导数形式进行转化,总体的目标是构造已有的函数来取代题目中比较复杂的式子,以得到我们所需要的形式方便解题.

换元法构造函数证明

 方法总结:

在证明类似问题时需要抽象出变量,然后利用换元,将整数变量的形式转化为一个函数的自变量的形式.

消参换元构造函数

在证明不等式中的某一步时,当遇到式子比较复杂的情况,我们可以在其中的一步通过构造新的函数自变量来替代较为复杂的参数,以达到证明的目的.


总结

构造函数问题实质上是对于导数中的函数形式复杂或者变量个数和形式较为复杂的原因引起,我们通过转换函数形式和变量形式,通过一系列构造转换来得到较为简洁的函数形式来得到我们需要的条件和结论.

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