构造函数之具有相同极值点的函数

2021-10-06

2020年高考已经落下帷幕,我们来探讨一下全国一卷理科导数压轴题的解法及其背后的命制原理.

题目的设置本身比较常规:已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0时,求a的取值范围.

分析:第(2)问是一个常规的恒成立求参数范围问题.主要的处理策略一般是分离参数或者构造函数,直接研究含参的函数.一般在选择题、填空题中,以分离参数为主,可以避免相对复杂的分类讨论.但在解答题中,分离参数的方法可能会有所保留.特别是当发现题目疑似“端点值恒成立”问题时,更会谨慎小心,以防分参后会在端点处使用洛必达法则,而这又是初等数学并没有涉及的知识,在考场上,这样的答卷,必然会遭遇突然死亡.

本题乍一看,似乎是“端点效应”,当x=0时,恰好等号成立.其实不然.

当x>0时,分离参数得参变分离后的函数一来是分式型,超越型函数,二来仿佛在“0”处要使用洛必达法则.但如果熟悉一些常见函数的极值点,化部分分式得我们会发现其中有一部分是形如的函数,它的极值点是n,本题中就是2,而后面一部分多项式函数的极值点恰好也是2.由此,导函数必含有因式(x-2),本题迎刃而解.

本题第(2)问具体解答如下:(1)当x=0时,不等式成立.

(2)当x>0时,分离参数得下面求出g(x)的最大值即可.

令令则恒成立.故h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)<h(0)=1,所以x2+2x+2<2ex恒成立,即x2+2x+2-2ex<0恒成立.令g′(x)>0,得0<x<2,令g′(x)<0,得x>2.

所以g(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.所以g(x)的最大值为g(2),所以

注:在探求x2+2x+2-2ex与0的大小关系时,构造了商函数主要是利用指数函数与多项式函数乘除运算构成函数的导函数的符号与指数函数无关这一特点(俗称“指数好基友”),只需求导一次即可.而如果构造差函数m(x)=x2+2x+2-ex也未尝不可,求导两次即可.

而本题函数的命制背景也呼之欲出:将两个具有相同极值点的函数通过简单的四则运算组合起来,再做点调整或修饰(加上一两个参数,添上分母或去分母等),这样就构造出了一个新的函数.有时也会先构造出可因式分解的导函数,再通过简单积分求出原函数.我们在平时的教学中不妨对下列几种基本函数的极值点具备一定的敏感度.

(1)f(x)=ex-ax(a>0)的极值点是x=lna;

的极值点是x=n

(3)f(x)=ax-lnx(a>0)的极值点是

的极值点是x=a

的极值点是x=e;

(6)f(x)=(x-a)ex的极值点是x=a-1;

(7)f(x)=(x-a)2的极值点是x=a

的极值点是xa.

如:已知f(x)=ex-x2+(1-a)x-1,若对任意的x≥0,都有f(x)≥0,求a的取值范围.

如同上例,分离参数后会发现,这道题其实就是把两个极值点为1的函数和组合起来的.

其实这种构造函数的命制方式,在历次的高考题中,并不少见.

第一,2016年全国卷Ⅰ理科压轴:

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1x2f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

本题是以:y=a(x-1)2y=(x-2)ex这两个极值点都为1的函数组合而成的.

第二,2013年全国卷压轴:

设函数f(x)=x2+ax+bg(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(1)求abcd的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

本题是以y=(x+1)exy=(x+2)2这两个极值点都为-2的函数组合而成.

第三,2014年山东卷理科导数题:

设函数(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).

(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.

本题是以和这两个极值点都为2的函数组合而成.

第四,2017年山东卷理科导数题:

已知函数f(x)=x2+2cosxg(x)=ex(2x-2+cosx-sinx),其中e=2.71828…是自然对数的底数.

(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;

(2)令h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

本题在函数的命制上,其实是先构造了导函数h′(x)=2(ex-a)(x-sinx),再构造出原函数,这也给我们带来了解题经验,如果原函数很复杂,可能导函数的零点是可以一望而知或者导函数是可以因式分解或者导函数的单调性是易求的.平时教学中,我们不妨也可以试试这种函数的构造方式.

而前文提及的端点效应的一般形式:若f(m)=0,且f(x)≥0在[m,+∞)上恒成立,则不妨先求得使f(x)在[m,+∞)单调递增的参数的取值范围,证明其充分性,再指出矛盾区间,证其必要性.近十年的全国各地高考卷中此类题型也屡见不鲜.

对于本题,若未能发现相同极值点的拼凑函数这一特质,则不妨从通性通法出发,直接研究函数(函数的构造注意利用“指数好基友”的特点).

具体解答如下:令

(1)若2a+1≤0,即时,则令F′(x)>0,得0<x<2,此时F(x)单调递增;令F′(x)<0,则x>2,此时F(x)单调递减.则F(x)的最大值为F(2),由题意F(2)≤1,则矛盾,舍去.

(2)若2a+1>0,即时,

①若则F′(x)≤0恒成立,则F(x)在(0,+∞)上单调递减,只需F(0)≤1即可,满足题意;

②若此时F(x)在(0,2a+1)上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,只需F(2)≤1即可,得因而

③若此时F(x)在 (0,2)上单调递减,在(2,2a+1)上单调递增,在(2a+1,+∞)上单调递减,只需F(2a+1)≤1即可.于是研究函数恒成立,因而H(a)在上单调递减,满足题意.

综上可知,a的取值范围是

通过对本题的分析,进一步提醒我们在平时的解题教学中切忌“套路化”“秒杀”等一蹴而就的方式.现在的高考题正在不断地破套路化,将考查的重点依旧落在学生的思维品质上.波利亚曾说:老师在讲授方法的时候,不能像魔术师一样,忽然从袋子里掏出一个兔子,让学生不明所以,莫名其妙.我们面对难题时(如本文例题),应该不断设问:这是一个什么问题?(一个恒成立求参数范围的问题)已知、可知、未知之间有怎样的联系?(0的时候不等式成立)我有什么解题规划?(分离参数或者基本函数)怎样实施我的规划?有哪些困难?(分参函数复杂,直接研究函数分类讨论复杂)解后有怎样的反思?(为什么导函数恰好可以因式分解)是不是有一类的问题?通性通法和个性化的方法是什么?以前遇到过类似的问题吗?可以不可以迁移?等等一系列的问题,从而知其然而知其所以然.即使这样的步骤看起来笨笨的,但这恰是一种返璞归真,俗到家时自入时的体现.这也是我们教师在平时解题教学的重心所在.

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